例谈求解排列组合问题中常见的几种方法 排列组

时间:2021-01-14 04:22编辑:admin来源:未知当前位置:成熟网名网 > qq号网名

  排列组合问题是高中数学的一个难点,它也是求解概率问题的基础,在列年高考中都有所体现;要能准确的解答排列组合问题,首先要认真阅读题目,认真审题,弄清楚是排列问题还是组合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理问题。
  一、 “特殊元素,特殊位置”优先考虑
  例1 (2009北京,7)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()
  A. 324
  B. 328
  C. 360
  D. 648
  解析:因组成的三位数为偶数,末尾数字必须是偶数,又0不能排在首位,故0是特殊元素,应优先安排,按0排在末尾和不排在末尾分为两类。(1) 当0排在末尾时,有=72个偶数。(2) 0不作个位共有=256个偶数,所以共计72+256=328个偶数,∴选B
  二、 排列组合的混合问题,则先“组”后“排”
  对于排列组合的混合问题,可采取先选出元素,后进行排列的方法
  例2 (2009重庆,13)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少1名,则不同的分配方案有_______种。
  解析:先从4名学生中选出2名看做一个整体共有=6种选法;然后将三个元素进行全排列有=6种排法,∴共有=36种分配方案。
  三、 正难则反,应用等价转换的方法
  对于某些排列组合问题,当从正面入手情况比较复杂,不易解决时可考虑从反面入手,将其转换为一个比较简单的问题来处理。
  例3 (2009湖北,5)将甲,乙,丙,丁四名同学分到三个不同的班,每班至少分到一名同学,且甲,乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分发为()
  A. 18B. 24 C. 30D. 36
  解析:从正面入手需考虑的情况较多,所以不妨从反面入手考虑,即先不考虑甲,乙不同班的情况,将4人分成3组有=6种分法,再将3组同学分到3个班级共有=6种分法,在减去甲,乙同班的分法有=6种。∴共有=30种分法。故选C
  四、 相邻问题,“捆绑”法
  对某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻元素“捆绑”起来看做一个元素,与其他元素进行全排列,然后再对“捆”在一起的相邻元素进行全排列。
  例4 (96全国)6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有()
  解析:现将甲,乙“捆”在一起看做一个元素,同剩下的4个元素共5个元素进行全排列有 种排法,然后,甲,乙两人之间进行全排列有 种排法。根据乘法原理满足条件的排法共有=240种排法。
  五、 不相邻问题,“插空”法
  对某几个元素要求不相邻的排列问题,可现将其它元素排好,然后将不相邻的元素插在这些排好元素之间及两端的空隙中。
  例5 (97全国)7名同学排成一排,其中甲,乙两人不相邻,则不同的排法种数有()
  A. 1440种B. 3600种
  C. 4320种D. 4800种
  解析:先让甲,乙之外的5人进行全排列,有=120种排法,再让甲,乙两人在每两人之间及两端的6个空隙中插入,有种方法,故共有=3600种排法。∴选B
  六、 “相邻”和“不相邻”综合问题,则先“捆绑”再“插空”
  例6 (2009四川,11)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同的排法种数是()
  A. 360B. 288C. 216D. 96
  解析:先保证3位女生中有且只有两位女生相邻,即先从三个女生中选两位女生“捆绑”成一个元素,再和剩下的女生插在排好的3位男生之间和两端的空隙中,则有: 种排法;再从中排除甲站在两端的排法。∴共有=288种排法
  七、 “顺序一定”用除法处理
  对于某几个顺序一定的排列问题,可先将所有元素进行全排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
  例7 5名男生和3名女生站在一起照相,其中3名女生必须按照(从左到右)高矮顺序站,共有_______种站法
  解析:若不考虑附加条件共有 种站法,而其中女生的站法 中只有一种符合条件,∴共有=6720种排法
  八、 相同元素放在不同位置,用“隔板法”
  例8 有6个一样的小球,分给3个人,每人至少分一个,则有_______种不同的分法
  解析:可以想象成6个球排成一排,中间有5个空,在这5个空里面插入2块木板这样就将球分成了3部分,∴共有=10种分法。
  排列组合问题是比较复杂的问题,在解排列组合问题时一定要认真审题,灵活应用两个原理,及常用的排列组合问。

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